如图所示，在多面体ABCD－A1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB∥A1B1，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a.(1)求异面直线AB1与DD1所成角

Question

如图所示，在多面体ABCD－A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 中，上、下两个底面A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 和ABCD互相平行，且都是正方形，DD ₁ ⊥底面ABCD，AB∥A ₁ B ₁ ，AB＝2A ₁ B ₁ ＝2DD ₁ ＝2a.

(1)求异面直线AB ₁ 与DD ₁ 所成角的余弦值；
(2)已知F是AD的中点，求证：FB ₁ ⊥平面BCC ₁ B ₁ .

Answer 1

(1)     (2)见解析

以D为坐标原点，DA，DC，DD ₁ 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2a,0,0)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，D ₁ (0,0，a)，F(a,0,0)，B ₁ (a，a，a)，C ₁ (0，a，a)．

(1)∵ ＝(－a，a，a)， ＝(0,0，a)，
∴cos〈 ， 〉＝ ＝ ，
所以异面直线AB ₁ 与DD ₁ 所成角的余弦值为 .
(2)证明：∵ ＝(－a，－a，a)，
＝(－2a,0,0)， ＝(0，a，a)，
∴ ∴FB ₁ ⊥BB ₁ ，FB ₁ ⊥BC.
∵BB ₁ ∩BC＝B，∴FB ₁ ⊥平面BCC ₁ B ₁ .