（2012•肇庆二模）如图，AB是圆柱ABFG的母线，C是点A关于点B对称的点，O是圆柱上底面的圆心，BF过O点，DE是过O点的动直径，且AB=2，BF=2AB．（1）求证：BE⊥平面ACD；（2）当三棱锥D-BCE的体积

Question

（2012•肇庆二模）如图，AB是圆柱ABFG的母线，C是点A关于点B对称的点，O是圆柱上底面的圆心，BF过O点，DE是过O点的动直径，且AB=2，BF=2AB．
（1）求证：BE⊥平面ACD；
（2）当三棱锥D-BCE的体积最大时，求二面角C-DE-A的平面角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：∵AB是圆柱ABFG的母线，C是点A关于点B对称的点，
∴AC垂直圆柱的底面，即AC⊥平面BDF，（1分）
∵BE⊂平面BDF，∴BE⊥AC（2分）
∵DE是圆柱上底面的直径，∴BE⊥BD（3分）
∵AC⊂平面ACD，BD⊂平面ACD，且AC∩BD=B（4分）
∴BE⊥平面ACD（5分）
（2）∵DE是圆O的直径，
∴∠DBE是直角，DE=BF=2AB=4
设BD=x，（0＜x＜4），在直角△BDE中，BE＝√(DE2−BD2)＝√(16−x2)＞0，（6分）
S△DBE＝(1)/(2)BD•BE＝(1)/(2)x√(16−x2)≤(x2+√(16−x2)2)/(4)＝4，（8分）
当且仅当x＝√(16−x2)，即x＝2√(2)时“=”成立，（9分）
∵三棱锥D-BCE的体积等于三棱锥C-DBE的体积，而三棱锥C-DBE的高BC=2，
∴△BDE的面积最大时，三棱锥的体积也最大，
此时，BD＝BE＝2

作业帮用户 2017-09-29

问题解析

（1）证明BE⊥平面ACD，关键是证明BE垂直于平面中的两条相交直线，即证BE⊥AC，而DE是圆柱上底面的直径，所以BE⊥BD，故可得结论；
（2）△BDE的面积最大时，三棱锥的体积也最大，此时△BDE是等腰直角三角形，从而可知DE⊥平面AOC，连接CO，AO，而有CO⊥DE，AO⊥DE，可得∠AOC是二面角C-DE-A的平面角，进而可求二面角C-DE-A的平面角的余弦值．

名师点评

本题考点：

与二面角有关的立体几何综合题；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．

考点点评：

本题考查线面垂直，考查面面角，考查三棱锥的体积，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角．

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