如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，△PAD为正三角形，且E，F分别为AD，AB的中点，PE⊥平面ABCD，BE⊥平面PAD．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PEB；（Ⅱ）求EF与平面PDC所成角的正弦值．

Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，△PAD为正三角形，且E，F分别为AD，AB的中点，PE⊥平面ABCD，BE⊥平面PAD．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PEB；
（Ⅱ）求EF与平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵PE⊥平面ABCD，BE⊥平面PAD，
∴PE⊥AD，BE⊥AD，
∵PE∩BE=EM，
∴AD⊥平面PEB，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴BC⊥平面PEB；
（Ⅱ）以E为原点，建立如图所示的坐标系，则

不妨设菱形ABCD的边长为2，则AE＝ED＝1，PA＝2，PE＝√(3)，BE＝√(AB2−AE2)＝√(3)．
则点A(1，0，0)，B(0，√(3)，0)，C(−2，√(3)，0)，D(−1，0，0)，P(0，0，√(3))，F((1)/(2)，(√(3))/(2)，0).

DC

＝(−1，√(3)，0)，

DP

＝(1，0，√(3))．
设平面PDC的法向量为

n

=（x，y，z）．
则由

−x+√(3)y＝0

x+√(3)z＝0

解得

x＝√(3)y

x＝−√(3)z.

不妨令z=1，得

n

=（-√(3)，-1，1），
又

EF

＝((1)/(2)，(√(3))/(2)，0)，
所以EF与平面PDC所成角的正弦值为|((−√(3)，−1，1)•((1)/(2)，(√(3))/(2)，0))/(√(5)×1)|=(√(15))/(5)．…（9分）