△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC.垂足分别为E、F、G求证(1)DE+DF=BG(2)若D在BC的延长线上时,结论怎样,亲写出你的猜想,并给予证明

Question

△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且DE⊥AB,DF⊥AC,BG⊥AC.垂足分别为E、F、G求证(1)DE+DF=BG
(2)若D在BC的延长线上时,结论怎样,亲写出你的猜想,并给予证明

Answer 1

（1）DE+DF=BG
证明：
作DH⊥BG于H
∵BG⊥AC
∴DH//AC 
∴∠HDB =∠C 
∵DF ⊥AC 
∴四边形DFGH为矩形
∴DF=HG
∵AB=AC
∴∠EBD=∠C=∠HDB
∵DE⊥AB
∴∠BED=∠DHB=90º
又∵BD=DB
∴⊿BED≌⊿DHB（AAS）
∴DE=BH
∴DE+DF=BH+HG=BG
（2）DE-DF=BG
证明：
作DH⊥BG交BG延长线于H
∵BG⊥AC
∴DH//AC 
∴∠HDB =∠ACB 
∵DF ⊥AC 
∴四边形DFGH为矩形
∴DF=HG
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=∠HDB
∵DE⊥AB
∴∠BED=∠DHB=90º
又∵BD=DB
∴⊿BED≌⊿DHB（AAS）
∴DE=BH
∴DE-DF=BH-HG=BG