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在四边形ABCD中,∠ADC=∠E=900,DB⊥AE,垂足为B,且DB=EB=5,请用旋转图形的方法求四边形AECD的面积.
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在四边形ABCD中,∠ADC=∠E=900,DB⊥AE,垂足为B,且DB=EB=5,请用旋转图形的方法求四边形AECD的面积.
▼优质解答
答案和解析
如图,∠BAC=90°,△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,恰好点D在BC上,连接CE.
(1)∠BAE与∠DAC有何关系?并说明理由;
(2)△ABD与△ACE有何关系?并说明理由;
(3)线段BC与CE在位置上有何关系?为什么?考点:相似三角形的判定;旋转的性质.分析:(1)它们的关系应该是互补,根据旋转的性质知:∠BAC、∠DAE都是直角,可根据这个条件以及角之间的关系来判断.
(2)两角的关系是相等,首先由旋转的性质知:△ABD、△ACE是顶角相等的两个等腰三角形,它们的三个角对应相等,因此两个三角形相似.
(3)由(2)知:∠ACE=∠ADB=∠B,由于∠ACE、∠B互余,因此∠ACE、∠ACB互余,故两条线段互相垂直.(1)∠BAE与∠DAC互补;
理由如下:
由旋转的性质知:∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°+(90°-∠DAC)=180°-∠DAC;
即∠BAE+∠DAC=180°,因此∠BAE、∠DAC互补.
(2)△ABD与△ACE相似;
理由如下:
由旋转的性质知:AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE;
即∠ADB=∠B= (180°-∠BAD),∠ACE=∠AEC= (180°-CAE),
即∠ADB=∠ACE=∠B=∠AEC;
因此△ABD∽△ACE.
(3)线段BC与CE互相垂直,
理由如下:
由(2)知:∠ACE=∠B;
∵∠B+∠ACB=90°,
∴∠ACB+∠ACE=90°,
即线段BC、CE互相垂直.点评:此题主要考查的是旋转的性质,理解旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变,是解答此题的关键.
(1)∠BAE与∠DAC有何关系?并说明理由;
(2)△ABD与△ACE有何关系?并说明理由;
(3)线段BC与CE在位置上有何关系?为什么?考点:相似三角形的判定;旋转的性质.分析:(1)它们的关系应该是互补,根据旋转的性质知:∠BAC、∠DAE都是直角,可根据这个条件以及角之间的关系来判断.
(2)两角的关系是相等,首先由旋转的性质知:△ABD、△ACE是顶角相等的两个等腰三角形,它们的三个角对应相等,因此两个三角形相似.
(3)由(2)知:∠ACE=∠ADB=∠B,由于∠ACE、∠B互余,因此∠ACE、∠ACB互余,故两条线段互相垂直.(1)∠BAE与∠DAC互补;
理由如下:
由旋转的性质知:∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°+(90°-∠DAC)=180°-∠DAC;
即∠BAE+∠DAC=180°,因此∠BAE、∠DAC互补.
(2)△ABD与△ACE相似;
理由如下:
由旋转的性质知:AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE;
即∠ADB=∠B= (180°-∠BAD),∠ACE=∠AEC= (180°-CAE),
即∠ADB=∠ACE=∠B=∠AEC;
因此△ABD∽△ACE.
(3)线段BC与CE互相垂直,
理由如下:
由(2)知:∠ACE=∠B;
∵∠B+∠ACB=90°,
∴∠ACB+∠ACE=90°,
即线段BC、CE互相垂直.点评:此题主要考查的是旋转的性质,理解旋转变化前后,对应线段、对应角分别相等,图形的大小、形状都不改变,是解答此题的关键.
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