（2006•黄浦区二模）在直棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=a，AC=b，AA1=c，∠BAC=90°．（1）求使AB1⊥BC1的充要条件（用a，b，c表示）；（2）求证∠B1AC1为锐角；（3）若∠ABC=60°，则∠B1AC1是否可能为450

Question

（2006•黄浦区二模）在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=a，AC=b，AA₁=c，∠BAC=90°．
（1）求使AB₁⊥BC₁的充要条件（用a，b，c表示）；
（2）求证∠B₁AC₁为锐角；
（3）若∠ABC=60°，则∠B₁AC₁是否可能为45⁰？证明你的结论．

Answer 1

分别以AB，AC，AA₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示：

因为AB=a，AC=b，AA₁=c，
所以由题意可得：A（0，0，0），B（a，0，0），B1（a，0，c），C1（0，b，c）．
（1）由以上可得：

AB1

=（a，0，c），

BC1

=(-a，b，c)，
因为AB₁⊥BC₁，
所以

AB1

•  

BC1

=0，即c²-a²=0，
所以使AB₁⊥BC₁的充要条件是c²-a²=0．
（2）由题意可得：

AB1

=（a，0，c），

AC1

=（0，b，c），
所以

AB1

•

AC1

=c²＞0，
所以

AB1

与

AC

作业帮用户 2017-10-07

问题解析

分别以AB，AC，AA₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由题意可得：A（0，0，0），B（a，0，0），B1（a，0，c），C1（0，b，c）．
（1）可得

AB1

=（a，0，c），

BC1

=(-a，b，c)，令

AB1

•  

BC1

=0，可得c²-a²=0，进而得到答案．
（2）由题意可得：

AB1

=（a，0，c），

AC1

=（0，b，c），可得

AB1

•

AC1

=c²＞0，进而得到答案．
（3）若∠ABC=60°，则b=√(3)a，根据向量的数量积可得：cos∠B₁AC₁=(AB1•AC1)/(|AB1||AC1|)=(1)/(√(((a)/(c))2 +1)•√(3((a)/(c))2+1))＜1，即可得到答案．

名师点评

本题考点：

充要条件；空间中直线与直线之间的位置关系．

考点点评：

本小题考查线线垂直、线线角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力．

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