如图，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；请说明理由．

Question

如图，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；请说明理由．

Answer 1

FE=FD．
理由如下：方法一：如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
在△AEF和△AGF中，

AG＝AE

∠1＝∠2

AF＝AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG，FE=FG，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠2=(1)/(2)∠BAC，∠3=(1)/(2)∠ACB，
∴∠2+∠3=(1)/(2)（∠BAC+∠ACB）=(1)/(2)×120°=60°，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°．
∴∠CFG=180°-∠AFG-∠CFD=180°-60°-60°=60°，
∴∠CFG=∠CFD，
∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠3=∠4，
在△CFG和△CFD中，

∠CFG＝∠CFD

FC＝FC

∠3＝∠4

，
∴△CFG≌△CFD（ASA），
∴FG=FD，
∴FE=FD；

方法二：如图2，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，
∵F是△ABC的内心，
∴FG=FH，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠2=(1)/(2)∠BAC，∠3=(1)/(2)∠ACB，
∴∠2+∠3=(1)/(2)（∠BAC+∠ACB）=(1)/(2)×120°=60°，
∴∠AFE=∠2+∠3=60°，
∴∠GEF=60°+∠1，
又∵∠HDF=∠B+∠1=60°+∠1，
∴∠GEF=∠HDF，
在△EGF和△DHF中，

∠EGF＝∠DHF＝90°

∠GEF＝∠HDF

FG＝FH

，
∴△EGF≌△DHF（AAS），
∴FE=FD．