若f（x）=x2-2x+2，当x∈[t，t+1]时的最小值为g（t），并求函数g（t）当t∈[-3，-2]时的最值．

Question

若f（x）=x²-2x+2，当x∈[t，t+1]时的最小值为g（t），并求函数g（t）当t∈[-3，-2]时的最值．

Answer 1

f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1
（1）当t+1≤1，即t≤0时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，
∴g（t）=f（t+1）=（t+1）²-2（t+1）+2=t²+1    …3分
（2）当t＜1＜t+1，即0＜t＜1时，g（t）=f（1）=1     …5分
（3）当t≥1时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，
∴g（t）=f（t）=t²-2t+2     …8分
综上所述，g(t)＝

t2+1 (t≤0)

1 (0＜t＜1)

t2−2t+2 (t≥1)

    …10分
当t∈（-∞，0]时，g（t）=t²+1为减函数，
∴在[-3，-2]上，g（t）=t²+1也为减函数
∴g（t）_min=g（-2）=5，
g（t）_max=g（-3）=10．   …14分．