求线段最小值已知函数f(x)=ax+b/x(b不等于0)的图象是以y=ax和y轴为渐进线的双曲线.若点M,N分别在函数f(x)=x/√3-2√3/x所表示的双曲线的异支上的两个动点,则MN的最小值为?这只是一道填空题

Question

求线段最小值
已知函数f(x)=ax+b/x(b不等于0)的图象是以y=ax和y轴为渐进线的双曲线.若点M,N分别在函数f(x)=x/√3-2√3/x所表示的双曲线的异支上的两个动点,则MN的最小值为?
这只是一道填空题

Answer 1

两种解法：
一、由对称性可知,MN一定是两个焦点的连线上,而两个焦点在y=ax 和Y轴的夹角的平分线上；
现在 f(x)=x/√3-2√3/x,其渐进线为y=x/√3和Y轴,其中y=x/√3为通过原点且与X轴夹角为30°的直线,两条渐近线的平分线有两条,与X夹角分别为-30°和60°,
根据图形分析,所求两焦点在前一条上,其方程为y=-x/√3
将其与y=x/√3-2√3/x可得两点坐标为（√3,-1）、（-√3,1）
其间距离即为MN最小距离为4
二、设MN连线的方程为y=kx+c .（1）
与y=x/√3-2√3/x .（2）
的交点即为M、N的坐标(x1,y1)、(x2,y2)满足（1）、（2）
（1）代入（2）中化简得
(k-1/√3)x^2+cx+2√3=0 .(3)
设MN的距离为s,则
s^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2
=(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2
=(1+k^2)(x1-x2)^2
=(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1*x2]
=(1+k^2)[c^2/(k-1/√3)^2-4*2√3/(k-1/√3)] .（4）
s取极小值时,s^2也取极小值,偏s/偏c=0、偏s/偏k=0
由 偏s/偏c=0 得 c=0
由偏s/偏k=0得 k^2-2k/√3-1=0
解得 k=√3 (不符合题解,与双曲线无焦点）、k=-1/√3
将c=0 、k=-1/√3 代入到（4）中
s^2=16
s=4