已知椭圆x^2+2y^2=12,A是x轴正半轴的一定点,过点A作倾斜角为π/4的直线L,若L被椭圆截得的弦长为(4√14)/3,求点A的坐标.我给积分,50个,

Question

已知椭圆x^2+2y^2=12,A是x轴正半轴的一定点,过点A作倾斜角为π/4的直线L,若L被椭圆截得的弦长为(4√14)/3,求点A的坐标.我给积分,50个,

Answer 1

设点A的坐标是(m,0)（m>0)那么直线L的方程是：y=x-m联列此方程与椭圆方程:x^2+2y^2=12消去y,得到含x的一元二次方程：x^2+2(x-m)^2=12整理为：3x^2-4mx+2m^2-12=0.(1)设L被椭圆截得的弦端点的横坐标是x1,x2那么x1,x2是方程（1）的两个根,由韦达定理,有：x1+x2=4m/3x1*x2=(2m^2-12)/3|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4*x1*x2=(144-8m^2)/9弦的倾斜角是π/4,弦长为(4√14)/3则：16*14/9=2|x1-x2|^2即：16*14/9=2（144-8m^2)/9解之得：m=2或m=-2(舍去）所以,点A的坐标是（2,0）