某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次曲线与线段AB所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的

Question

某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次曲线与线段AB所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压之比为5：4，闸门矩形部分的高h应为多少？

Answer 1

如图建立坐标系，设抛物线的方程为y=x²，
设水的密度为ρ，重力加速度为g．
由微元法得闸门矩形部分一个微小宽度dy所受水压力为：
dP₁=2ρg（h+1-y）dy，
则矩形部分所受水压为
P₁=2

∫

1+h 1

ρg（h+1-y）dy=（2ρg（h+1）y-ρgy²）

|

1+h h

=ρgh²；
同样闸门下部一个微小宽度dy所受水压力为：
dP₂=2ρg(h+1−y)√(y)dy，
则闸门下部所受压力为：
P₂=

∫

1 0

2ρg(h+1−y)√(y)dy=[(4)/(3)ρg(h+1)y(3)/(2)-(4)/(5)ρgy(5)/(2)]

|

1 0

=4ρg（(1)/(3)h+(2)/(15)）；
又因为(P1)/(P2)=(5)/(4)，
即(ρgh2)/((1)/(3)h+(2)/(15))=(5)/(4)；
解之得：h=2，或h=-(1)/(3)（舍去），
故h=2，
即闸门矩形部分的高为2．