一阶微分方程dy/dx=-ky+sin(x),k属于R这个要用常数变易法来求,

Question

一阶微分方程
dy/dx=-ky+sin(x),k属于R
这个要用常数变易法来求,

Answer 1

y`+ky=sinx
解齐次方程y`+ky=0
设y=e^ax
则,y`+ky=ae^ax+ke^ax+c=0
a+k=0
a=-k
y=C*e^-kx
设C为x的函数 ：C(x) 带回原方程
C`(x)*e^-kx-kC(x)*e^-kx+kC(x)*e^-kx=sinx
C`(x)*e^-kx=sinx
C`(x)=sinx * e^kx
分部积分得：C(x)=(k*sinx-cosx)*e^kx/(1+k^2)+C1
y=(k*sinx-cosx)/(1+k^2)+C1
随便代个值验证一下 ,当k=0时,原式y`=sinx
y=-cosx+c
微分方程结果=-cosx+C1
结果一致