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(2013•山东)如图,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点.(Ⅰ)求证:CE∥平面PAD(Ⅱ)求证:平面EFG⊥平面EMN.
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/91529822720e0cf356b9c74a0946f21fbe09aa31.jpg)
(Ⅰ)求证:CE∥平面PAD
(Ⅱ)求证:平面EFG⊥平面EMN.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:∵四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点,
取PA的中点H,
则由HE∥AB,HE=
AB,而且CD∥AB,CD=
AB,可得HE和CD平行且相等,故四边形CDHE为平行四边形,
故CE∥DH.
由于DH在平面PAD内,而 CE不在平面PAD内,故有CE∥平面PAD.
(Ⅱ)证明:由于AB⊥AC,AB⊥PA,而PA∩AC=A,可得AB⊥平面PAC.再由AB∥CD可得,CD⊥平面PAC.
由于MN是三角形PCD的中位线,故有MN∥CD,故MN⊥平面PAC.
由于EF为三角形PAB的中位线,可得EF∥PA,而PA在平面PAC内,而EF不在平面PAC内,故有EF∥平面PAC.
同理可得,FG∥平面PAC.
而EF 和FG是平面EFG内的两条相交直线,故有平面EFG∥平面PAC.
∴MN⊥平面EFG,而MN在平面EMN内,故有平面EFG⊥平面EMN.
取PA的中点H,
则由HE∥AB,HE=
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故CE∥DH.
由于DH在平面PAD内,而 CE不在平面PAD内,故有CE∥平面PAD.
(Ⅱ)证明:由于AB⊥AC,AB⊥PA,而PA∩AC=A,可得AB⊥平面PAC.再由AB∥CD可得,CD⊥平面PAC.
由于MN是三角形PCD的中位线,故有MN∥CD,故MN⊥平面PAC.
由于EF为三角形PAB的中位线,可得EF∥PA,而PA在平面PAC内,而EF不在平面PAC内,故有EF∥平面PAC.
同理可得,FG∥平面PAC.
而EF 和FG是平面EFG内的两条相交直线,故有平面EFG∥平面PAC.
∴MN⊥平面EFG,而MN在平面EMN内,故有平面EFG⊥平面EMN.
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