（2013•山东）如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面EMN．

Question

（2013•山东）如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAD
（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面EMN．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点，
取PA的中点H，
则由HE∥AB，HE=(1)/(2)AB，而且CD∥AB，CD=(1)/(2)AB，可得HE和CD平行且相等，故四边形CDHE为平行四边形，
故CE∥DH．
由于DH在平面PAD内，而 CE不在平面PAD内，故有CE∥平面PAD．
（Ⅱ）证明：由于AB⊥AC，AB⊥PA，而PA∩AC=A，可得AB⊥平面PAC．再由AB∥CD可得，CD⊥平面PAC．
由于MN是三角形PCD的中位线，故有MN∥CD，故MN⊥平面PAC．
由于EF为三角形PAB的中位线，可得EF∥PA，而PA在平面PAC内，而EF不在平面PAC内，故有EF∥平面PAC．
同理可得，FG∥平面PAC．
而EF 和FG是平面EFG内的两条相交直线，故有平面EFG∥平面PAC．
∴MN⊥平面EFG，而MN在平面EMN内，故有平面EFG⊥平面EMN．