如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．（1）求证：AE=AF；（2）求证：CD=2BE+DE．

Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F．

（1）求证：AE=AF；  
（2）求证：CD=2BE+DE．

Answer 1

证明：（1）如图，∵∠BAC=90°，AF⊥AE，
∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，
∴∠EAB=∠FAC，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°，
∵∠EDB=∠ADC，
∴∠EBA=∠ACF，
∴在△AEB与△AFC中，

∠EAB＝∠FAC

AB＝AC

∠EBA＝∠ACF

，
∴△AEB≌△AFC（ASA），
∴AE=AF；
                    
（2）如图，过点A作AG⊥EC，垂足为G．
∵AG⊥EC，BE⊥CE，
∴∠BED=∠AGD=90°，
∵点D是AB的中点，
∴BD=AD．
∴在△BED与△AGD中，

∠BED＝∠AGD

∠BDE＝∠ADG

BD＝AD

，
∴△BED≌△AGD（AAS），
∴ED=GD，BE=AG，
∵AE=AF
∴∠AEF=∠AFE=45°
∴∠FAG=45°
∴∠GAF=∠GFA，
∴GA=GF，
∴CF=BE=AG=GF，
∵CD=DG+GF+FC，
∴CD=DE+BE+BE，
∴CD=2BE+DE．