1、2、、3...97、98共98个自然数中,能够表示成两个整数平方差的数有多少个

Question

1、2、、3...97、98共98个自然数中,能够表示成两个整数平方差的数有多少个

Answer 1

设这两个整数分别为a,b,依题意有
K=a^2-b^2=(a+b)(a-b)
由于a,b为整数,那么(a+b)与(a-b)的奇偶性相同,即同为奇或同为偶.且二者为一大一小,不会相等,根据以上分析,得
（1）所有的奇数除1之外,都符合要求,因为奇数总可以表示为其本身与1的乘积,同为奇,且一大一小,符合以上条件,在1至98中,奇数有98/2=49个,符合条件(1除外)的有49-1=48个；
（2）对于偶数K,它必须能分解成两个偶数的乘积,才有可能表示成两个整数的平方差的形式.即(a+b)与(a-b)都是偶数,所以K必定是4的倍数,在1至98当中4的倍数有98/4=24余2,即有24个,但其中的4只能分解为2X2的形式,此时出现(a+b)与(a-b）相等,不符合要求,所以符合要求的偶数个数有24-1=23个.
综上,能够表示成两个整数的平方差的个数是48+23=71个.

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