设数列an满足a1＝2,an+1-an=3×4^n（1）求数列an的通项公式；（2）令bn＝nan,求数列bn的前n项和Sn

Question

设数列an满足a1＝2,an+1-an=3×4^n
（1）求数列an的通项公式；
（2）令bn＝nan,求数列bn的前n项和Sn

Answer 1

a(n+1)-an=3×4^n
an-a(n-1)=3×4^(n-1)
an-a(n-1)=3×4^(n-1)
.
a3-a2=3×4^2
a2-a1=3×4
以上等式相加得
an-a1=3×4+3×4^2+.+3×4^(n-1) 等比数列求和
an-2=12×[1-4^(n-1)]/(1-4)
an-2=4^n-4
an=4^n-2
a1也符合
bn=nan
=n(4^n-2)
=n*4^n-2n
Sn=1*4-2*1+2*4^2-2*2+.+n*4^n-2n
Sn=1*4+2*4^2+.+n*4^n-2*(1+2+.+n)
4Sn=1*4^2+2*4^3+.+n*4^(n+1)-8*(1+2+.+n)
Sn-4Sn=4+4^2+4^3+.+4^n-n*4^(n+1)+6*(1+2+.+n)
-3Sn=4*(1-4^n)/(1-4)-n*4^(n+1)+3n(n+1)
-3Sn=[4^(n+1)-4]/3-n*4^(n+1)+3n(n+1)
-3Sn=4^(n+1)/3-n*4^(n+1)+3n(n+1)-4/3
-3Sn=(1-3n)*4^(n+1)/3+3n(n+1)-4/3
3Sn=(3n-1)*4^(n+1)/3-3n(n+1)+4/3
Sn=(3n-1)*4^(n+1)/9-3n(n+1)/3+4/9