一直数列{An}中,A1=1,数列{Bn}中,B1=0,当N》=2时,An=1/3（2An-1+Bn-1）,求An,Bn

Question

一直数列{An}中,A1=1,数列{Bn}中,B1=0,当N》=2时,An=1/3（2An-1+Bn-1）,求An,Bn

Answer 1

题目没显示完全,丢了“bn=(1/3)[a(n-1)+2b(n-1)]”吧?
3an=2a(n-1)+b(n-1)
3bn=a(n-1)+2b(n-1)
两式相减：
3(an-bn)=a(n-1)-b(n-1)
∴数列{an-bn}是首项为：a1-b1=1,公比为1/3的等比数列
an-bn=(1/3)^(n-1)
∴bn=an-(1/3)^(n-1)
∴b(n-1)=a(n-1) - (1/3)^(n-2),代入：3an=2a(n-1)+b(n-1) ,得：
∴3an=3a(n-1) - (1/3)^(n-2),即：an=a(n-1)-(1/3)^(n-1)
这是关于an的递推式：
an = a(n-1)-(1/3)^(n-1)
a(n-1) = a(n-2)-(1/3)^(n-2)
a(n-2) = a(n-3)-(1/3)^(n-3)
·
·
a3 = a2 - (1/3)^2
a2 = a1 - (1/3)^1
全加,得：
an = a1- [ (1/3)^(n-1)+(1/3)^(n-2)+...+(1/3)^1 ]
= 1 - (1/3)[1-(1/3)^(n-1)] / [1 - (1/3)]
=(1/2)[1+(1/3)^(n-1)]
bn=an-(1/3)^(n-1)=(1/2)[1+(1/3)^(n-1)]-(1/3)^(n-1) =(1/2)[1-(1/3)^(n-1)]
分别把a1=1,b1=0代入也满足
∴an=(1/2)[1+(1/3)^(n-1)]
bn=(1/2)[1-(1/3)^(n-1)]