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在数列{an}与{bn}中,a1=1,b1=4,数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1-(n+3)Sn=0,2an+1为bn与bn+1的等比中项,n∈N+.(1)求a2,b2的值;(2)求数列{an}与{bn}的通项公式.
题目详情
在数列{an}与{bn}中,a1=1,b1=4,数列{an}的前n项和Sn满足nSn+1-(n+3)Sn=0,2an+1为bn与bn+1的等比中项,n∈N+.
(1)求a2,b2的值;
(2)求数列{an}与{bn}的通项公式.
(1)求a2,b2的值;
(2)求数列{an}与{bn}的通项公式.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵数列{an}与{bn}中,a1=1,b1=4,nSn+1-(n+3)Sn=0,
∴a1+a2-4a1=0,a1=1,解得a2=3.
∵2an+1为bn与bn+1的等比中项,
∴4a2=b2b1,b1=4,解得b2=9.
(2)由题设nSn+1-(n+3)Sn=0,a1=1,b1=4,及a2=3,b2=9,
进一步可得a3=6,b3=16,a4=10,b4=25,
由此猜想an=
,bn=(n+1)2,n∈N+.
先证an=
,n∈N+.
当n=1时,a1=
,等式成立.
当n≥2时用数学归纳法证明如下:
当n=2时,a2=
,等式成立.
假设n=k时等式成立,即ak=
,k≥2.
由题设,kSk+1=(k+3)Sk,①
(k-1)Sk=(k+2)Sk-1.②
①的两边分别减去②的两边,整理得kak+1=(k+2)ak,
从而ak+1=
ak=
•
=
.
这就是说,当n=k+1时等式也成立.
综上可知,等式an=
对任何的n∈N+都成立.
再证bn=(n+1)2,n∈N+,
当n=1时,b1=4,∴等式成立.
假设n=k时,等式成立,即bk=(k+1)2,
那么n=k+1时,
∵(2ak+1)2=bk•bk+1,
∴[2•
]2=(k+1)2•bk+1.
∴bk+1=(k+2)2=[(k+1)+1]2.
∴n=k+1时等式成立.
∴综上知,bn=(n+1)2,n∈N+.
∴a1+a2-4a1=0,a1=1,解得a2=3.
∵2an+1为bn与bn+1的等比中项,
∴4a2=b2b1,b1=4,解得b2=9.
(2)由题设nSn+1-(n+3)Sn=0,a1=1,b1=4,及a2=3,b2=9,
进一步可得a3=6,b3=16,a4=10,b4=25,
由此猜想an=
n(n+1) |
2 |
先证an=
n(n+1) |
2 |
当n=1时,a1=
1×(1+1) |
2 |
当n≥2时用数学归纳法证明如下:
当n=2时,a2=
2×(2+1) |
2 |
假设n=k时等式成立,即ak=
k(k+1) |
2 |
由题设,kSk+1=(k+3)Sk,①
(k-1)Sk=(k+2)Sk-1.②
①的两边分别减去②的两边,整理得kak+1=(k+2)ak,
从而ak+1=
k+2 |
k |
k+2 |
k |
k(k+1) |
2 |
=
(k+1)[(k+1)+1] |
2 |
这就是说,当n=k+1时等式也成立.
综上可知,等式an=
n(n+1) |
2 |
再证bn=(n+1)2,n∈N+,
当n=1时,b1=4,∴等式成立.
假设n=k时,等式成立,即bk=(k+1)2,
那么n=k+1时,
∵(2ak+1)2=bk•bk+1,
∴[2•
(k+1)(k+2) |
2 |
∴bk+1=(k+2)2=[(k+1)+1]2.
∴n=k+1时等式成立.
∴综上知,bn=(n+1)2,n∈N+.
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