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(2012•安徽)平面图形ABB1A1C1C如图4所示,其中BB1C1C是矩形,BC=2,BB1=4,AB=AC=2,A1B1=A1C1=5.现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠,使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直,再分别连接A2A,A2
题目详情
(2012•安徽)平面图形ABB1A1C1C如图4所示,其中BB1C1C是矩形,BC=2,BB1=4,AB=AC=
,A1B1=A1C1=
.现将该平面图形分别沿BC和B1C1折叠,使△ABC与△A1B1C1所在平面都与平面BB1C1C垂直,再分别连接A2A,A2B,A2C,得到如图2所示的空间图形,对此空间图形解答下列问题.
(Ⅰ)证明:AA1⊥BC;
(Ⅱ)求AA1的长;
(Ⅲ)求二面角A-BC-A1的余弦值.
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(Ⅰ)证明:AA1⊥BC;
(Ⅱ)求AA1的长;
(Ⅲ)求二面角A-BC-A1的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:取BC,B1C1的中点为点O,O1,连接AO,OO1,A1O,A1O1,
∵AB=AC,∴AO⊥BC
∵平面ABC⊥平面BB1C1C,平面ABC∩平面BB1C1C=BC
∴AO⊥平面BB1C1C
同理A1O1⊥平面BB1C1C,∴AO∥A1O1,∴A、O、A1、O1共面
∵OO1⊥BC,AO⊥BC,OO1∩AO=O,∴BC⊥平面OO1A1A
∵AA1⊂平面OO1A1A,∴AA1⊥BC;
(Ⅱ)延长A1O1到D,使O1D=OA,则∵O1D∥OA,∴AD∥OO1,AD=OO1,
∵OO1⊥BC,平面A1B1C1⊥平面BB1C1C,平面A1B1C1∩平面BB1C1C=B1C1,
∴OO1⊥面A1B1C1,
∵AD∥OO1,
∴AD⊥面A1B1C1,
∵AD=BB1=4,A1D=A1O1+O1D=2+1=3
∴AA1=
=5;
(Ⅲ)∵AO⊥BC,A1O⊥BC,∴∠AOA1是二面角A-BC-A1的平面角
在直角△OO1A1中,A1O=
=2
在△OAA1中,cos∠AOA1=-
∴二面角A-BC-A1的余弦值为-
.
∵AB=AC,∴AO⊥BC
∵平面ABC⊥平面BB1C1C,平面ABC∩平面BB1C1C=BC
∴AO⊥平面BB1C1C
同理A1O1⊥平面BB1C1C,∴AO∥A1O1,∴A、O、A1、O1共面
∵OO1⊥BC,AO⊥BC,OO1∩AO=O,∴BC⊥平面OO1A1A
∵AA1⊂平面OO1A1A,∴AA1⊥BC;
(Ⅱ)延长A1O1到D,使O1D=OA,则∵O1D∥OA,∴AD∥OO1,AD=OO1,
∵OO1⊥BC,平面A1B1C1⊥平面BB1C1C,平面A1B1C1∩平面BB1C1C=B1C1,
∴OO1⊥面A1B1C1,
∵AD∥OO1,
∴AD⊥面A1B1C1,
∵AD=BB1=4,A1D=A1O1+O1D=2+1=3
∴AA1=
42+32 |
(Ⅲ)∵AO⊥BC,A1O⊥BC,∴∠AOA1是二面角A-BC-A1的平面角
在直角△OO1A1中,A1O=
42+22 |
5 |
在△OAA1中,cos∠AOA1=-
| ||
5 |
∴二面角A-BC-A1的余弦值为-
| ||
5 |
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