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已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1,F为棱BB1的中点,M为线段AC1的中点.(1)求证:FM∥平面ABCD;(2)求证:平面AFC1⊥平面ACC1A1.
题目详情
已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,且∠DAB=60°,AD=AA1,F为棱BB1的中点,M为线段AC1的中点.
(1)求证:FM∥平面ABCD;
(2)求证:平面AFC1⊥平面ACC1A1.
(1)求证:FM∥平面ABCD;
(2)求证:平面AFC1⊥平面ACC1A1.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)延长C1F交CB的延长线于点N,连接AN.
∵F是BB1的中点,
∴F为C1N的中点,B为CN的中点.
又M是线段AC1的中点,
故MF∥AN.
又MF不在平面ABCD内,AN⊂平面ABCD,
∴MF∥平面ABCD.
(2)连BD,由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 ,可知A1A⊥平面ABCD,
又∵BD⊂平面ABCD,∴A1A⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD.
又∵AC∩A1A=A,AC,A1A⊂平面ACC1A1,∴BD⊥平面ACC1A1.
在四边形DANB中,DA∥BN且DA=BN,∴四边形DANB为平行四边形,
故NA∥BD,∴NA⊥平面ACC1A1,
又∵NA⊂平面AFC1,
∴平面AFC1⊥ACC1A1.
∵F是BB1的中点,
∴F为C1N的中点,B为CN的中点.
又M是线段AC1的中点,
故MF∥AN.
又MF不在平面ABCD内,AN⊂平面ABCD,
∴MF∥平面ABCD.
(2)连BD,由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 ,可知A1A⊥平面ABCD,
又∵BD⊂平面ABCD,∴A1A⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD.
又∵AC∩A1A=A,AC,A1A⊂平面ACC1A1,∴BD⊥平面ACC1A1.
在四边形DANB中,DA∥BN且DA=BN,∴四边形DANB为平行四边形,
故NA∥BD,∴NA⊥平面ACC1A1,
又∵NA⊂平面AFC1,
∴平面AFC1⊥ACC1A1.
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