在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为CC1的中点．求证：（1）AC1∥平面BDE；（2）A1E⊥平面BDE．

Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，E为CC₁的中点．
求证：（1）AC₁∥平面BDE；（2）A₁E⊥平面BDE．

Answer 1

（1）证明：连接AC，设AC∩BD=O．由条件得ABCD为正方形，
所以O为AC中点．
∵E为CC₁中点，
∴OE∥AC₁．
∵OE⊂平面BDE，AC₁⊈平面BDE．
∴AC₁∥平面BDE．
（2）连接B₁E．设AB=a，则在△BB₁E中，BE=B₁E=√(2)a，BB₁=2a．
∴BE²+B₁E²=BB₁²．
∴B₁E⊥BE．
由正四棱柱得，A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，
∴A₁B₁⊥BE．
∴BE⊥平面A₁B₁E．
∴A₁E⊥BE．
同理A₁E⊥DE．
∴A₁E⊥平面BDE．