△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2B2．（1）求cosB；（2）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．

Question

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin²(B)/(2)．
（1）求cosB；
（2）若a+c=6，△ABC面积为2，求b．

Answer 1

（1）sin（A+C）=8sin²(B)/(2)，
∴sinB=4（1-cosB），
∵sin²B+cos²B=1，
∴16（1-cosB）²+cos²B=1，
∴（17cosB-15）（cosB-1）=0，
∴cosB=(15)/(17)；
（2）由（1）可知sinB=(8)/(17)，
∵S_△ABC=(1)/(2)ac•sinB=2，
∴ac=(17)/(2)，
∴b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-2×(17)/(2)×(15)/(17)
=a²+c²-15=（a+c）²-2ac-15=36-17-15=4，
∴b=2．