证明：（1）nk＝02kCkn＝3n（n∈N）；（2）2C2n0+C2n1+2C2n2+C2n3+…+C2n2n-1+2C2n2n=3•22n-1（n∈N）；（3）2＜(1+1n)n＜3(n∈N)．

Question

证明：（1）

n

k＝0

2k

C

k n

＝3n（n∈N）；
（2）2C_2n⁰+C_2n¹+2C_2n²+C_2n³+…+C_2n^2n-1+2C_2n²ⁿ=3•2^2n-1（n∈N）；
（3）2＜(1+(1)/(n))n＜3(n∈N)．

Answer 1

证明：（1）右式=3ⁿ=（1+2）ⁿ=C₂⁰2⁰+C₂¹2¹+C₂²2²+…+C₂ⁿ2ⁿ=

n

n−1

2k

C

k n

=左式；
故得证；
（2）左式=（C_2n⁰+C_2n¹+C_2n³+…+C_2n²ⁿ）+（C_2n⁰+C_2n²+C_2n⁴+…+C_2n²ⁿ）=2²ⁿ+2^2n-1=3•2^2n-1=右式；
故得证；
（3）由二项式定理，（1+(1)/(n)）ⁿ=1+(1)/(n)C_n¹+(1)/(n2)C_n²+…(1)/(nn)+C_nⁿ=1+1+(1)/(n2)C_n²+…(1)/(nn)+C_nⁿ；①
由①知，（1+(1)/(n)）ⁿ＞2；
另一方面，（1+(1)/(n)）ⁿ=1+1+(1)/(2!)(n−1)/(n)+(1)/(3!)((n−1)(n−2))/(n2)+…+(1)/(n!)•(1)/(nn−1)•（n-1）（n-2）…2•1
＜1+1+(1)/(2!)+(1)/(3!)+…+(1)/(n!)＜1+1+(1)/(2)+(1)/(22)+…+(1)/(2n−1)
＜1+(1)/(1−(1)/(作业帮用户2017-10-25为您推荐：问题解析（1）从右边开始分析，将3看成1+2，由二项式定理展开可得左式，即原等式可得证明；（2）观察左式，可将左式转化为（C2n0+C2n1+C2n3+…+C2n2n）+（C2n0+C2n2+C2n4+…+C2n2n），由二项式系数的性质，（C2n0+C2n1+C2n3+…+C2n2n）=22n，（C2n0+C2n2+C2n4+…+C2n2n）=22n-1，相加可得右式，即原等式可得证明；（3）由二项式定理，将（1+(1)/(n)）n展开可得1+(1)/(n)Cn1+(1)/(n2)Cn2+…(1)/(nn)+Cnn=1+1++(1)/(n2)Cn2+…(1)/(nn)+Cnn；分析可得：（1+(1)/(n)）n＞2；另一方面，用放缩法分析，，（1+(1)/(n)）n=1+1+(1)/(2!)(n−1)/(n)+(1)/(3!)((n−1)(n−2))/(n2)+…+(1)/(n!)•(1)/(nn−1)•（n-1）（n-2）…2•1＜1+1+(1)/(2!)+(1)/(3!)+…+(1)/(n!)＜1+1+(1)/(2)+(1)/(22)+…+(1)/(2n−1)；整理可得右式的证明，综合可证得原不等式．名师点评本题考点：二项式定理的应用；等比数列的前n项和；二项式定理；二项式系数的性质；不等式的证明．考点点评：本题考查二项式定理的应用，涉及等式、不等式的证明；注意观察原等式或不等式的形式，结合二项式定理，进而对原题题干进行恒等变形，最终证明命题．广告扫描下载二维码©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议))