liman=a求证lim[(a1+a2···+an)/n]=a答案：这题用极限的定义做由lim[(n→+∞)，An]＝a则对任意的ε＞0，存在正整数N＞0使得当k＞N时有｜Ak-a｜＜ε，现在我们来证明：由｜Ak-a｜＜ε，得a-ε＜Ak

Question

liman=a求证lim[(a1+a2···+an)/n]=a
答案：
这题用极限的定义做
由lim [(n→+∞)，An]＝a
则对任意的 ε＞0，存在正整数 N＞0 使得当 k＞N 时有 ｜Ak-a｜＜ε，
现在我们来证明：

由｜Ak-a｜＜ε，得a-ε＜Ak＜a+ε,则有（n-k+1）(a-ε)＜Ak+a[k+1]+……+An＜（n-k+1）(a+ε)
（n-k+1）(a-ε)/n＜（Ak+A[k+1]+……+An）/n＜（n-k+1）(a+ε)/n
整理得｜（Ak+A[k+1]+……+An）/n-a+(k-1)(a-ε)/n｜＜ε，取极限得到
｜（Ak+A[k+1]+……+An）/n-a｜＜ε

0＜｜(A1+A2+……+An)/n-a｜
=｜(A1+A2+……+A[k-1])/n+(Ak+A[k+1]+……+An)/n-a｜ ,
＜｜(A1+A2+……+A[k-1])/n｜+｜(Ak+A[k+1]+……+An)/n-a｜
｜(A1+A2+……+A[k-1])/n｜取极限得0，而｜(Ak+A[k+1]+……+An)/n-a｜取极限得
｜（Ak+A[k+1]+……+An）/n-a｜＜ε，从而有
0＜｜(A1+A2+……+An)/n-a｜＜ε，从而(A1+A2+……+An)/n的极限为a
问题是，如何得出的｜(A1+A2+……+A[k-1])/n｜取极限得0？

Answer 1

k是某一个有限的值，并不是无穷，所以A1+A2+……+A[k-1] 是有限值。
而n→∞，有界/无穷=0