已知数列{an}满足a1=4,an+1-4an=4^(n+1)求an,求{an}前n项和Sn求通项公式和前n项和~

Question

已知数列{an}满足a1=4,an+1-4an=4^(n+1) 求an,求{an}前n项和Sn
求通项公式和前n项和~

Answer 1

a(n+1)-4an=4^(n+1)
两边同时除以4^(n+1)得a(n+1)/4^(n+1)-an/4^n=1
所以数列{an/4^n}是以a1/4^1=4/4=1为首项,1为公差的等差数列
所以an/4^n=1+(n-1)*1=n
所以an=n*4^n
对于这类通项是等差与等比相乘的情况用错位相减法求前n项和
Sn=a1+a2+...+an=1*4^1+2*4^2+...+n*4^n.(1)
所以4Sn=1*4^2+2*4^3+...+(n-1)*4^n+n*4^(n+1).(2)
(1)-(2)得-3Sn=1*4^1+1*4^2+1*4^3+...+1*4^n-n*4^(n+1)
=4^1+4^2+...+4^n-n*4^(n+1)
=4^1*(1-4^n)/(1-4)-n*4^(n+1)
=4*(4^n-1)/3-n*4^(n+1)
所以Sn=(n/3)*4^(n+1)-4*(4^n-1)/9