从一批钉子中随机抽取16枚，测得其平均长度为.x=2.125，样本标准差为s=0.017，若钉子的长度X～N（μ，σ2），在下列两种情况下分别求总体均值的置信度为1-α=90%的置信区间．（1）已知σ=0.01；

Question

从一批钉子中随机抽取16枚，测得其平均长度为

.

x

=2.125，样本标准差为s=0.017，若钉子的长度X～N（μ，σ²），在下列两种情况下分别求总体均值的置信度为1-α=90%的置信区间．
（1）已知σ=0.01； 
（2）σ未知．
（参考数据：Φ（1.285）=0.90，Φ（1.645）=0.95，t_0.05（15）=1.7531，t_0.05（16）=1.7459）

Answer 1

已知n=16，

.

X

=2.125，s=0.017．
（1）因为σ=0.01已知，故(.X−μ)/((σ)/(√(n)))=(2.125−μ)/((0.01)/(√(16)))=400（2.125-μ）～N（0，1），
从而P（|400（2.125-μ）|＜1.645）=1-2×（1-0.95）=0.90．
由|400（2.125-μ）|＜1.645 可得，
2.1208875＜μ＜2.1291125，
故均值的置信度为90%的置信区间为：（2.1208875，2.1291125）．
（2）因为σ未知，故(.X−μ)/((s)/(√(n)))～t（n-1），
即：(2.125−μ)/((0.017)/(√(16)))=(4(2.125−μ))/(0.017)～t（15）．
由已知条件，t_0.05（15）=1.7531，
故由|(4(2.125−μ))/(0.017)|＜1.7531可得，
2.05049325＜μ＜2.19950675，
故均值的置信度为90%的置信区间为：（2.05049325，2.19950675）．