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(2006•威海)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=8cm,CD=2cm,AD=BC=6cm,M、N为同时从A点出发的两个动点,点M沿A⇒D⇒C⇒B的方向运动,速度为2cm/秒;点N沿A⇒B的方向运动,速度为1cm/秒.当M、N其中一点

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(2006•威海)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=8cm,CD=2cm,AD=BC=6cm,M、N为同时从A点出发的两个动点,点M沿A⇒D⇒C⇒B的方向运动,速度为2cm/秒;点N沿A⇒B的方向运动,速度为1cm/秒.当M、N其中一点到达B点时,点M、N运动停止.设点M、N的运动时间为x秒,以点A、M、N为顶点的三角形的面积为ycm2
(1)试求出当0<x<3时,y与x之间的函数关系式;
(2)试求出当4<x<7时,y与x之间的函数关系式;
(3)当3<x<4时,以A、M、N为顶点的三角形与以B、M、N为顶点的三角形是否有可能相似?若相似,试求出x的值;若不相似,试说明理由.

▼优质解答
答案和解析
(1)由题意可证∠A=60˚,进而由三角函数可求△AMN的面积即y=x2
(2)过点M作MG⊥AB,垂足为G.可证△MGB∽△CFB,即求GM=(7-x),所以△AMN的面积即y=x-x2
(3)当3<x<4时,以A,M,N为顶点的三角形与以B,M,N为顶点的三角形不可能相似.
当x=3时,动点M与点D重合时,动点N恰好与点E重合,此时∠MNA=90˚.
当3<x<4时,∠MNA必为钝角.则∠MNA≠∠MNB,而∠MNA=∠NMB+∠MBN,因此,△AMN与△BMN不可能相似.
【解析】
(1)如图①,过D作DE⊥AB,垂足为E;过C作CF⊥AB,垂足为F.
∴CD=EF=2.
∵AD=BC,DE=CF,
∴Rt△ADE≌Rt△BCF.
∴AE=BF=3.(1分)
在Rt△ADE中,AD=6,AE=3,
∴∠ADE=30˚,∠A=60˚
∴在△AMN中,AN=x,高为2x•sin60°=x.
∴y=•x•x.即y=x2
(2)如图②,过点M作MG⊥AB,垂足为G.
∵MG∥CF,
∴△MGB∽△CFB.
∴GM:CF=BM:BC.
∵CF=DE=
∴GM:3=(6+2+6-2x):6.
∴GM=(7-x).
∴y=(7-x).
即y=x-x2
(3)当3<x<4时,以A,M,N为顶点的三角形与以B,M,N为顶点的三角形不可能相似.
当x=3时,动点M与点D重合时,动点N恰好与点E重合,此时∠MNA=90˚.
当3<x<4时,∠MNA必为钝角.则∠MNA≠∠MNB,而∠MNA=∠NMB+∠MBN,因此,△AMN与△BMN不可能相似.