已知f（x）是二次函数，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x2-2）的值域．

Question

已知f（x）是二次函数，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x²-2）的值域．

Answer 1

设二次函数f（x）=ax²+bx+c
∵f（0）=a×0+b×0+c=0，∴c=0
∴f（x）=ax²+bx，
又∵f（x+1）=f（x）+x+1，
∴a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+x+1
∴ax²+2ax+a+bx+b=ax²+bx+x+1
∴2ax+（a+b）=x+1
∴

2a=1

a+b=1

，解得a=(1)/(2)，b=(1)/(2)
∴f（x）=(1)/(2)x2+(1)/(2)x．
（2）f（x）=(1)/(2)x2+(1)/(2)x=(1)/(2)（x+(1)/(2)）²-(1)/(8)，对称轴为x=-(1)/(2)，
设t=x²-2，则t≥-2，
∴当t=-(1)/(2)时，函数取得最小值-(1)/(8)，
故函数的值域为[-(1)/(8)，+∞）．