在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c．已知sinC+cosC+2sinC2=1．（1）求角C的大小；（2）若a2+b2=6a+43b-21，求△ABC外接圆半径．

Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c．已知sinC+cosC+√(2)sin(C)/(2)=1．
（1）求角C的大小；
（2）若a²+b²=6a+4√(3)b-21，求△ABC外接圆半径．

Answer 1

（1）∵sinC+cosC+√(2)sin(C)/(2)=1，即sinC+√(2)sin(C)/(2)=1-cosC=2sin²(C)/(2)，
整理得：2sin(C)/(2)cos(C)/(2)+√(2)sin(C)/(2)=1-cosC=2sin²(C)/(2)，
∵sin(C)/(2)≠0，
∴2cos(C)/(2)+√(2)=2sin(C)/(2)，即sin(C)/(2)-cos(C)/(2)=(√(2))/(2)，
两边平方得：（sin(C)/(2)-cos(C)/(2)）²=1-sinC=(1)/(2)，即sinC=(1)/(2)，
∵sin(C)/(2)-cos(C)/(2)=(√(2))/(2)＞0，
∴(π)/(4)＜(C)/(2)＜(π)/(2)，即(π)/(2)＜C＜π，
则C=(5π)/(6)；
（2）将a²+b²=6a+4√(3)b-21，变形得：（a-3）²+（b-2√(3)）²=0，
解得：a=3，b=2√(3)，
∵cosC=-(√(3))/(2)，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=9+12+18=39，即c=√(39)，
则R=(c)/(2sinC)=(√(39))/(2×(1)/(2))=√(39)．