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已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(5,0)、C(0,5)三点.(1)求抛物线的函数关系式;(2)若过点C的直线y=kx+b与抛物线相交于点E(4,m),请求出△CBE的面积S的值;(3)在
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已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0)、B(5,0)、C(0,5)三点.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a71ea8d3fd1f4134ab3b45fc261f95cad1c85e27.jpg)
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)若过点C的直线y=kx+b与抛物线相交于点E(4,m),请求出△CBE的面积S的值;
(3)在抛物线上求一点P0,使得△ABP0为等腰三角形,并写出P0点的坐标;
附加:(4)除(3)中所求的P0点外,在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形?若存在,请求出一共有几个满足条件的点P(要求简要说明理由,但不证明);若不存在这样的点P,请说明理由.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a71ea8d3fd1f4134ab3b45fc261f95cad1c85e27.jpg)
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)若过点C的直线y=kx+b与抛物线相交于点E(4,m),请求出△CBE的面积S的值;
(3)在抛物线上求一点P0,使得△ABP0为等腰三角形,并写出P0点的坐标;
附加:(4)除(3)中所求的P0点外,在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形?若存在,请求出一共有几个满足条件的点P(要求简要说明理由,但不证明);若不存在这样的点P,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵抛物线经过点A(1,0)、B(5,0),
∴y=a(x-1)(x-5).
又∵抛物线经过点C(0,5),
∴5a=5,a=1,
∴抛物线的解析式为y=(x-1)(x-5)=x2-6x+5.(3分)
(2)∵E点在抛物线上,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/29381f30e924b8990d0b39ba6d061d950a7bf679.jpg)
∴m=42-4×6+5=-3.
∵直线y=kx+b过点C(0,5)、E(4,-3),
∴
,
解得k=-2,b=5.(7分)
设直线y=-2x+5与x轴的交点为D,
当y=0时,-2x+5=0,
解得x=
.
∴D点的坐标为(
,0).(8分)
∴S=S△BDC+S△BDE
=
×(5−
)×5+
×(5−
)×3=10.(9分)
(3)∵抛物线的顶点P0(3,-4)既在抛物线的对称轴上又在抛物线上,
∴点P0(3,-4)为所求满足条件的点.(13分)
(4)除P0点外,在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形.(1分)
理由如下:
∵AP0=BP0=
=2
>4,(2分)
∴分别以A、B为圆心半径长为4画圆,分别与抛物线交于点B、P1、P2、P3、A、P4、P5、P6,除去B、A两个点外,其余6个点为满足条件的点.
∴y=a(x-1)(x-5).
又∵抛物线经过点C(0,5),
∴5a=5,a=1,
∴抛物线的解析式为y=(x-1)(x-5)=x2-6x+5.(3分)
(2)∵E点在抛物线上,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/29381f30e924b8990d0b39ba6d061d950a7bf679.jpg)
∴m=42-4×6+5=-3.
∵直线y=kx+b过点C(0,5)、E(4,-3),
∴
|
解得k=-2,b=5.(7分)
设直线y=-2x+5与x轴的交点为D,
当y=0时,-2x+5=0,
解得x=
5 |
2 |
∴D点的坐标为(
5 |
2 |
∴S=S△BDC+S△BDE
=
1 |
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5 |
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1 |
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2 |
(3)∵抛物线的顶点P0(3,-4)既在抛物线的对称轴上又在抛物线上,
∴点P0(3,-4)为所求满足条件的点.(13分)
(4)除P0点外,在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形.(1分)
理由如下:
∵AP0=BP0=
22+42 |
5 |
∴分别以A、B为圆心半径长为4画圆,分别与抛物线交于点B、P1、P2、P3、A、P4、P5、P6,除去B、A两个点外,其余6个点为满足条件的点.
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