有关傅里叶级数的问题s(x)为f(x)={1,0

Question

有关傅里叶级数的问题
s(x)为f(x)={1,0

Answer 1

-π/4-1
由于你是要展开成正弦型级数,所以函数在延拓的时候需要延拓成奇函数,也就是说f(x)在[-π,π]上的定义应该如下：
当x属于[-π,-π/2)时,f(x)=x-1
当x属于[-π/2,0)时,f(x)=-1,
当x属于[0,π/2]时,f(x)=1
当x属于(π/2,π]时,f(x)=x+1
当某个x0为连续点或者第一类间断点（比如你题目中要求的那个点就是第一类间断点）时,由Dini定理可知其傅立叶级数取值为[f(x0+0)+f(x0-0)]/2,其中f(x0+0)和f(x0-0)分别表示在x0点取左右极限的函数值,当然如果这点是连续的,显然有[f(x0+0)+f(x0-0)]/2=f(x0).如果这点是第一类间断点,比如像你题目中的情况,那么有在-π/2处的左右极限分别为-π/2-1和-1,所以其值为两者相加除以2也就是
-π/4-1