如图所示，已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，（1）求三棱锥C1-BCD的体积；（2）求证：平面C1BD⊥平面A1B1CD．

Question

如图所示，已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，

（1）求三棱锥C₁-BCD的体积；
（2）求证：平面C₁BD⊥平面A₁B₁CD．

Answer 1

（1） S_△BCD=(1)/(2)×BC×CD=(1)/(2)×1×1=(1)/(2)，
∴V C1-BCD=(1)/(3)S△BCD•CC1=(1)/(3)×(1)/(2)×1=(1)/(6)．
（2）证明：连结B₁C，A₁D，
∵CD⊥平面BCC₁B₁，BC₁⊂平面BCC₁B₁，
∴CD⊥BC₁，
∵四边形BCC₁B₁是正方形，
∴BC₁⊥B₁C，又CD⊂平面A₁B₁CD，B₁C⊂平面A₁B₁CD，CD∩B₁C=C，
∴BC₁⊥平面A₁B₁CD，
又BC₁⊂平面C₁BD，
∴平面C₁BD⊥平面A₁B₁CD．