在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；（3）如图3，在（2）

Question

在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°
（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；　
（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？若是，求出∠AFG的度数；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：如图1中，

在△ACE和△BCD中，

AC=BC

∠ACE=∠DCB

CE=CD

，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠∠CBD，∵∠AEC=∠BEF，
∴∠BFE=∠ACE=90°，
∴AF⊥BD．

（2）证明：如图2中，

∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
在△ACE和△BCD中，

AC=BC

∠ACE=∠DCB

CE=CD

，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠BFA=∠BCA=90°，
∴AF⊥BD．

（3）∠AFG=45°，
如图3，过点C作CM⊥BD，CN⊥AE，垂足分别为M、N，

∵△ACE≌△BCD，
∴S_△ACE=S_△BCD，AE=BD，
∴(1)/(2)•AE•CN=(1)/(2)•BD•CM，
∴CM=CN，∵CM⊥BD，CN⊥AE，
∴CF平分∠BFE，
∵AF⊥BD，
∴∠BFE=90°，
∴∠EFC=45°，
∴∠AFG=45°．