若过点（2，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+7x-4都相切，则a的值为（）A.2B.516C.2或−4916D.3或516

Question

若过点（2，0）的直线与曲线y=x³和y=ax²+7x-4都相切，则a的值为（　　）
A. 2
B. (5)/(16)
C. 2或−(49)/(16)
D. 3或(5)/(16)

Answer 1

设直线与曲线y=x³的切点坐标为（x₀，y₀），
则

y0＝x03 

(y0)/(x0−2)＝3x02

，解得x₀=0或x₀=3
则切线的斜率k=0或k=27，
①若k=0，此时切线的方程为y=0，
此时直线与y=x³相切，△=49+16a=0，解得a=−(49)/(16)；
②若k=27，其切线方程为y=27（x-2），
由

y＝27(x−2) 

y＝ax2+7x−4

，
消去y可得ax²-20x+50=0，
又由△=0，即（20）²-4×50×a=0，
解可得a=2．
故a=2或a=−(49)/(16)．
故选：C