已知点H（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴正半轴上，点M在直线PQ上，且HP•PM＝0，又PM＝−32MQ．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；（2）若直线l：y=k（x-1）（k＞2）与轨迹C交于A

Question

已知点H（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴正半轴上，点M在直线PQ上，且

HP

•

PM

＝0，又

PM

＝−(3)/(2)

MQ

．
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；
（2）若直线l：y=k（x-1）（k＞2）与轨迹C交于A、B两点，AB中点N到直线3x+4y+m=0（m＞-3）的距离为(1)/(5)，求m的取值范围．

Answer 1

（1）设M（x，y），P（0，a），Q（b，0）
由

PM

＝−(3)/(2)

MQ

得(x，y−a)＝−(3)/(2)(b−x，−y)，
∴a＝−(y)/(2)，b＝(x)/(3)，即P(0，−(y)/(2))，Q((x)/(3)，0)，
由

HP

•

PM

＝0⇒(3，−(y)/(2))•(x，(3)/(2)y)＝0
∴y²=4x（x＞0）．
（2）由

y＝k(x−1)(k＞2)

y2＝4x

消去y得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
由N是AB的中点∴N((k2+2)/(k2)，(2)/(k))，
又由已知(|3•(k2+2)/(k2)+4•(2)/(k)+m|)/(√(32+42))＝(1)/(5)
∴|(6)/(k2)+(8)/(k)+m+3|＝1
∵k＞2，m＞-3∴(6)/(k2)+(8)/(k)+m+3＝1．
令(1)/(k)＝t，则0＜t＜(1)/(2)
双m＝−6t2−8t−2⇒−(15)/(2)＜m＜−2
综合m＞-3可得-3＜m＜-2．