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已知函数f(x)=1+x-x22+x33−x44+…+x20132013,设F(x)=f(x+4),且函数F(x)的零点均在区间[a,b](a<b,a,b∈Z)内,圆x2+y2=b-a的面积的最小值是()A.πB.2πC.3πD.4π
题目详情
已知函数f(x)=1+x-
+
−
+…+
,设F(x)=f(x+4),且函数F(x)的零点均在区间[a,b](a<b,a,b∈Z)内,圆x2+y2=b-a的面积的最小值是( )
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
x2 |
2 |
x3 |
3 |
x4 |
4 |
x2013 |
2013 |
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
▼优质解答
答案和解析
∵f(x)=1+x-
+
−
+…+
,
∴当x<-1或x>-1时,f'(x)=1-x+x2-x3+…+x2012=
>0.
而当x=-1时,f'(x)=2013>0
∴f'(x)>0对任意x∈R恒成立,得函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数
∵f(-1)=(1-1)+(-
-
)+…+(-
-
)<0,f(0)=1>0
∴函数f(x)在R上有唯一零点x0∈(-1,0)
∵F(x)=f(x+4),得函数F(x)的零点是x0-4∈(-5,-4)
∴a≤-5且b≥-4,得b-a的最小值为-4-(-5)=1
∵圆x2+y2=b-a的圆心为原点,半径r=
∴圆x2+y2=b-a的面积为πr2=π(b-a)≤π,可得面积的最小值为π
故选:A
x2 |
2 |
x3 |
3 |
x4 |
4 |
x2013 |
2013 |
∴当x<-1或x>-1时,f'(x)=1-x+x2-x3+…+x2012=
1+x2013 |
1+x |
而当x=-1时,f'(x)=2013>0
∴f'(x)>0对任意x∈R恒成立,得函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数
∵f(-1)=(1-1)+(-
1 |
2 |
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3 |
1 |
2012 |
1 |
2013 |
∴函数f(x)在R上有唯一零点x0∈(-1,0)
∵F(x)=f(x+4),得函数F(x)的零点是x0-4∈(-5,-4)
∴a≤-5且b≥-4,得b-a的最小值为-4-(-5)=1
∵圆x2+y2=b-a的圆心为原点,半径r=
b−a |
∴圆x2+y2=b-a的面积为πr2=π(b-a)≤π,可得面积的最小值为π
故选:A
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