已知函数f（x）=1+x-x22+x33−x44+…+x20132013，设F（x）=f（x+4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，圆x2+y2=b-a的面积的最小值是（）A．πB．2πC．3πD．4π

Question

已知函数f（x）=1+x-(x2)/(2)+(x3)/(3)−(x4)/(4)+…+(x2013)/(2013)，设F（x）=f（x+4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，圆x²+y²=b-a的面积的最小值是（　　）

A．π
B．2π
C．3π
D．4π

Answer 1

∵f（x）=1+x-(x2)/(2)+(x3)/(3)−(x4)/(4)+…+(x2013)/(2013)，
∴当x＜-1或x＞-1时，f'（x）=1-x+x²-x³+…+x²⁰¹²=(1+x2013)/(1+x)＞0．
而当x=-1时，f'（x）=2013＞0
∴f'（x）＞0对任意x∈R恒成立，得函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数
∵f（-1）=（1-1）+（-(1)/(2)-(1)/(3)）+…+（-(1)/(2012)-(1)/(2013)）＜0，f（0）=1＞0
∴函数f（x）在R上有唯一零点x₀∈（-1，0）
∵F（x）=f（x+4），得函数F（x）的零点是x₀-4∈（-5，-4）
∴a≤-5且b≥-4，得b-a的最小值为-4-（-5）=1
∵圆x²+y²=b-a的圆心为原点，半径r=√(b−a)
∴圆x²+y²=b-a的面积为πr²=π（b-a）≤π，可得面积的最小值为π
故选：A