椭圆x249+y224=1上有一点P，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，且|PF1||PF2|=40，则△PF1F2的面积为．

Question

椭圆 (x2)/(49)+ (y2)/(24)=1上有一点P，F₁，F₂分别为椭圆的左右焦点，且|PF₁||PF₂|=40，则△PF₁F₂的面积为___．

Answer 1

由椭圆(x2)/(49)+(y2)/(24)=1，可得a=7，b²=24，c=√(a2-b2)=5．
∵|PF₁||PF₂|=40，|PF₁|+|PF₂|=14，
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，∠F₁PF₂=θ．（θ∈（0，π））．
由余弦定理可得10²=m²+n²-2mncosθ=（m+n）²-2mn-2mncosθ=14²-80（1+cosθ），
解得cosθ=(1)/(5)，
∴sinθ=(2√(6))/(5)．
∴△PF₁F₂的面积S=(1)/(2)mnsinθ=(1)/(2)×40×(2√(6))/(5)=8√(6)，
故答案为：8√(6)．