已知斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，（1）求直线的方程（用表示）；（2）若设，求证：；（3）若，求抛物线方程．

Question

已知斜率为 的直线 过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 两点，（1）求直线 的方程（用 表示）；
（2）若设 ，求证： ；
（3）若 ，求抛物线方程．

 

Answer 1

已知斜率为 的直线 过抛物线 的焦点 ，且与抛物线交于 两点，（1）求直线 的方程（用 表示）；
（2）若设 ，求证： ；
（3）若 ，求抛物线方程．

 

（1）直线 的方程为： ．（2）同解析，（3）抛物线方程 ．

（1）∵抛物线的焦点 的坐标为 ，
又∵直线的斜率为
∴直线 的方程为： ．
（2）证明：过点A，B分别作准线的垂线 ， ，
交准线于 ， ，则由抛物线的定义得：
  
．
（3） , ，直线 与抛物线方程联立，
，由韦达定理， ，
， ，抛物线方程 ．