∫1/√(x^2-a^2)dx=|In(x+√(x^2-a^2))|+c是怎么推算的

Question

∫1/√(x^2-a^2) dx=|In(x+√(x^2-a^2))|+c 是怎么推算的

Answer 1

∫ dx/√(x² - a²)
(x = a secθ,dx = a secθtanθ dθ)
= ∫ (a secθtanθ)/√(a² tan²θ) ...(#)
= ∫ (a secθtanθ dθ)/(a tanθ)
= ∫ secθ dθ
= ∫ secθ * (secθ + tanθ)/(secθ + tanθ) dθ
= ∫ (sec²θ + secθtanθ)/(secθ + tanθ) dθ
= ∫ d(secθ + tanθ)/(secθ + tanθ)
= ln|secθ + tanθ| + C
= ln|secθ + √(sec²θ - 1)| + C
= ln|(x/a) + √(x/a)² - 1| + C
= ln|x + √(x² - a²)| + C'
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如果你的答案不需要太严格,可以不用看这里.
严格来说要分情况讨论,因为反余割函数y = arcsecx在(-∞,+∞)并不是连续的
在(#)处,
若x>a时,θ∈[0,π/2),√(x² - a²) = √(a² tan²θ) = a tanθ
若x