设级数x42•4+x62•4•6+x82•4•6•8+…(−∞＜x＜+∞)的和函数为S（x）．求：（Ⅰ）S（x）所满足的一阶微分方程；（Ⅱ）S（x）的表达式．

Question

设级数(x4)/(2•4)+(x6)/(2•4•6)+(x8)/(2•4•6•8)+…(−∞＜x＜+∞)的和函数为S（x）．求：
（Ⅰ）S（x）所满足的一阶微分方程；
（Ⅱ）S（x）的表达式．

Answer 1

（I）
因为 S(x)＝(x4)/(2•4)+(x6)/(2•4•6)+(x8)/(2•4•6•8)+…，
所以：S（0）=0，
且：S′(x)＝(x3)/(2)+(x5)/(2•4)+(x7)/(2•4•6)+…=x((x2)/(2)+(x4)/(2•4)+(x6)/(2•4•6)+…)=x[(x2)/(2)+S(x)]，
因此S（x）是初值问题：y′＝xy+(x3)/(2)， y(0)＝0 的解．

（II） 
一阶方程y′＝xy+(x3)/(2)的通解为：
y＝e∫xdx[∫(x3)/(2)e−∫xdxdx+C]=−(x2)/(2)−1+Ce(x2)/(2)，
由初始条件y（0）=0，得：C=1，
故：y＝−(x2)/(2)+e(x2)/(2)−1，
因此和函数：S(x)＝−(x2)/(2)+e(x2)/(2)−1．