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四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠BAD和∠BCD的内(或外)角平分线分别为AE和CF.(1)当AE,CF都为内角平分线时,不难证明AE∥CF.过程如下:(如图1)∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°-(∠B+∠D
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四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠BAD和∠BCD的内(或外)角平分线分别为AE和CF.
(1)当AE,CF都为内角平分线时,不难证明AE∥CF.过程如下:(如图1)
∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°-(∠B+∠D).而∠B=∠D=90°.∠1=∠2,3=∠4,
∴2(∠2+∠4)=360°-180°=180°
则∠2+∠4=90°
又∵∠B=90°∴,2+∠5=90°,则∠4=∠5.∴AE∥CF.
(2)当AE,CF时都为角平分线时(如图2),AE与CF位置关系怎样?给出证明.
(3)当AE是内角平分线,CF是外角平分线时(如图3),请你探索AE与CF的位置关系,并给出证明.
(1)当AE,CF都为内角平分线时,不难证明AE∥CF.过程如下:(如图1)
∵∠BAD+∠BCD=∠1+∠2+∠3+∠4=360°-(∠B+∠D).而∠B=∠D=90°.∠1=∠2,3=∠4,
∴2(∠2+∠4)=360°-180°=180°
则∠2+∠4=90°
又∵∠B=90°∴,2+∠5=90°,则∠4=∠5.∴AE∥CF.
(2)当AE,CF时都为角平分线时(如图2),AE与CF位置关系怎样?给出证明.
(3)当AE是内角平分线,CF是外角平分线时(如图3),请你探索AE与CF的位置关系,并给出证明.
▼优质解答
答案和解析
(2)AE∥CF.理由如下:
作DP∥AE,如图2,
∵四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∴∠GAD+∠BCH=180°,
∵AE,CF时都为角平分线,
∴∠1=
∠GAD,∠4=
∠BCH,
∴∠1+∠4=90°,
∵PD∥AE,
∴∠1=∠2,
而∠2+∠3=90°,
∴∠1+∠3=90°,
∴∠3=∠4,
∴PD∥CF,
∴AE∥CF;
(3)AE⊥CF.理由如下:
如图3,
∵四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∴∠BAD=∠BCE,
∵AE,CF时都为角平分线,
∴∠1=
∠BAD,∠2=
∠BCE,
∴∠1=∠2,
而∠3=∠4,
∴∠5=∠B=90°,
∴AE⊥CF.
作DP∥AE,如图2,
∵四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∴∠GAD+∠BCH=180°,
∵AE,CF时都为角平分线,
∴∠1=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴∠1+∠4=90°,
∵PD∥AE,
∴∠1=∠2,
而∠2+∠3=90°,
∴∠1+∠3=90°,
∴∠3=∠4,
∴PD∥CF,
∴AE∥CF;
(3)AE⊥CF.理由如下:
如图3,
∵四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∴∠BAD=∠BCE,
∵AE,CF时都为角平分线,
∴∠1=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴∠1=∠2,
而∠3=∠4,
∴∠5=∠B=90°,
∴AE⊥CF.
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