已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1（a＞0，b＞0），其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为（1，-1），则椭圆的方程为（）A．x245+y236=1B．x212+y24=1C．x224+y28=1D．x218+y

Question

已知椭圆方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0），其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为（1，-1），则椭圆的方程为（　　）

A．(x2)/(45)+(y2)/(36)=1
B．(x2)/(12)+(y2)/(4)=1
C．(x2)/(24)+(y2)/(8)=1
D．(x2)/(18)+(y2)/(9)=1

Answer 1

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆的方程可得(x21)/(a2)+(y21)/(b2)＝1，(x22)/(a2)+(y22)/(b2)＝1．
两式相减可得：((x1−x2)(x1+x2))/(a2)+((y1−y2)(y1+y2))/(b2)=0．
由x₁+x₂=2，y₁+y₂=-2，(y1−y2)/(x1−x2)=(−1−0)/(1−4)=(1)/(3)，代入上式可得：
(2)/(a2)+(−2)/(b2)×(1)/(3)=0，化为a²=3b²．
又c=4，c²=a²-b²，联立解得a²=24，b²=8．
∴椭圆的方程为：(x2)/(24)+(y2)/(8)+1．
故选：C．