设函数u(x，y，z)＝1+x26+y212+z218，单位向量n＝13{1，1，1}，则∂u∂n|(1，2，3)=3333．

Question

设函数u(x，y，z)＝1+(x2)/(6)+(y2)/(12)+(z2)/(18)，单位向量

n

＝(1)/(√(3)){1，1，1}，则(∂u)/(∂n)| (1，2，3)=

(√(3))/(3)

(√(3))/(3)

．

Answer 1

因为 函数u（x，y，z）沿单位向量

n

＝{cosα，cosβ，cosγ}的方向导数为：
(∂u)/(∂n)＝(∂u)/(∂x)cosα+(∂u)/(∂y)cosβ+(∂u)/(∂z)cosγ
又因为：u（x，y，z）=1+(x2)/(6)+(y2)/(12)+(z2)/(18)
所以：
 (∂u)/(∂x)＝(x)/(3)；
(∂u)/(∂y)＝(y)/(6)
(∂u)/(∂z)＝(z)/(9)
因此有：
(∂u)/(∂x)|_{（1，2，3）}=(1)/(3)；(∂u)/(∂y)|_{（1，2，3）}=(1)/(3)；(∂u)/(∂z)|_{（1，2，3）}=(1)/(3)；
又因为单位向量：

n

=(1)/(√(3))（1，1，1）
即有：cosα=

作业帮用户 2016-11-24

问题解析

函数u（x，y，z）沿单位向量

n

＝{cosα，cosβ，cosγ}的方向导数为：(∂u)/(∂n)＝(∂u)/(∂x)cosα+(∂u)/(∂y)cosβ+(∂u)/(∂z)cosγ，根据该公式即可求解．

名师点评

本题考点：

方向导数的概念、几何意义与求解．

考点点评：

本题主要考察的是方向导数的定义．方向导数是高数中一个比较小的知识点，考生容易忘记，但往往考试喜欢考方向导数．考生需注意．

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