P为圆A：（x+1）2+y2=8上的动点，点B（1，0）．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ．（I）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）当点P在第一象限，且cos∠BAP=223时，求点M的坐标．

Question

P为圆A：（x+1）²+y²=8上的动点，点B（1，0）．线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为Γ．
（I）求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）当点P在第一象限，且cos∠BAP=(2√(2))/(3)时，求点M的坐标．

Answer 1

（Ⅰ）圆A的圆心为A（-1，0），半径等于2√(2)．
由已知|MB|=|MP|，于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2√(2)，
故曲线Γ是以A，B为焦点，以2√(2)为长轴长的椭圆，a=√(2)，c=1，b=1，
曲线Γ的方程为(x2)/(2)+y²=1．…（5分）
（Ⅱ）由点P在第一象限，cos∠BAP=(2√(2))/(3)，|AP|=2√(2)，得P（(5)/(3)，(2√(2))/(3)）．…（8分）
于是直线AP方程为y=

作业帮用户 2017-11-10

问题解析

（I）由已知|MB|=|MP|，于是|MA|+|MB|=|MA|+|MP|=2√(2)，故曲线Γ是以A，B为焦点，以2√(2)为长轴长的椭圆，从而可求曲线Γ的方程；
（Ⅱ）当点P在第一象限，且cos∠BAP=(2√(2))/(3)时，求出P的坐标，可得直线AP方程，代入椭圆方程，消去y，可得5x²+2x-7=0，即可求点M的坐标．

名师点评

本题考点：

直线和圆的方程的应用．

考点点评：

本题考查直线与圆的位置关系，考查椭圆的方程与定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．

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