如图，从点作x轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与x轴交于点P(2)，再从作x轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，；，…；，，记点的坐标为(k=1，2，…，n)．(Ⅰ)

Question

如图，从点作x轴的垂线交曲线于点，曲线在点处的切线与x轴交于点P_(2)，再从作x轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：，；，…；，，记点的坐标为(k=1，2，…，n)．
(Ⅰ)试求与的关系(2≤k≤n)
(Ⅱ)求+…
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Answer 1

【分析】(I)设出P_k-1的坐标，求出Q_k-1，利用导数的几何意义函数在切点处的导数值是曲线的曲线的斜率，利用点斜式求出切线方程，令y=0得到x_k与x_k+1的关系．
(II)求出|P_kQ_k|的表达式，利用等比数列的前n项和公式求出和．

(Ⅰ)设P_k-1(x_k-1，0)，则，
又y′=e^x，
所以点Q_k-1处切线方程为
由y=0得x_k=x_k-1-1(2≤k≤n)．
(Ⅱ)x₁=0，x_k-x_k-1=-1，得x_k=-(k-1)，
，
S_n=|P₁Q₁|+|P₂Q₂|+|P₃Q₃|+…+|P_nQ_n|
.

【点评】本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是曲线的曲线的斜率、考查等比数列的前n项和公式求出和．