已知{an}中,a1=5/6,an+1=1/3an+(1/2)^n+1求an

Question

已知{an}中,a1=5/6,an+1=1/3an+(1/2)^n+1求an

Answer 1

a(n+1)=(1/3)a(n)+(1/2)^(n+1)
两边同时除以(1/3)^(n+1)
即a(n+1)/(1/3)^(n+1)=a(n)/(1/3)^n+(3/2)^(n+1)
令bn=a(n)/(1/3)^n
b1=a1/(1/3)=5/2
∴ b(n+1)=b(n)+(3/2)^(n+1)
则 b2-b1=(3/2)^2
b3-b2=(3/2)^3
.
b(n)-b(n-1)=(3/2)^n
以上式子叠加
b(n)-b(1)=(3/2)^2+(3/2)^3+...+(3/2)^n
∴ b(n)-5/2=[(3/2)^2-(3/2)^(n+1)]/(1-3/2)
∴ b(n)-5/2=2*(3/2)^(n+1)-9/2
∴ b(n)=2*(3/2)^(n+1)-2
∴ a(n)/(1/3)^n=2*(3/2)^(n+1)-2
∴ a(n)=3(1/2)^n-2*(1/3)^n