（1）由数列1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,...前4项的值,推测第n项an=1+2+3+...(n-1)+n+(n-1)+...+3+2+1的结果,并给出证明（2）在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列；（3）已知a,b是互异的正

Question

（1）由数列1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,...前4项的值,推测第n项an=1+2+3+...(n-1)+n+(n-1)+...+3+2+1的结果,并给出证明
（2）在9与243中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列；
（3）已知a,b是互异的正数,A是a,b的等差中项,G是a,b的正的等比中项,A与G有无确定的大小关系?
（4）画一个边长为2cm的正方形,再以这个正方形的对角线为边长画第二个正方形,以第二个正方形的对角线为边长画第三个正方形,这样一共画了10个正方形,求：
①第10个正方形的面积
②这10个正方形的面积和
（答题时标上题号,最后一题可不计算,但要列出重要的式子）

Answer 1

1、
1,4,9,16,
an=n^2
an=(1+……+n)+[1+……+(n-1)]
=n(n+1)/2+n(n-1)/2
=(n^2+n+n^2-n)/2
=n^2
2、
插入两个数
则一共4个
所以a1=9
a4=a1*q^3=243
q^3=243/9=27
q=3
所以a2=9*3=27,a3=27*3=81
3、
A=(a+b)/2
G=√(ab)
因为a不等于b
所以(√a-√b)^2>0
a-2√(ab)+b>0
(a+b)/2>√(ab)
所以A>G
4、
对角线是边长的√2倍
所以边长是以2为首项,√2为公比的等比数列
面积是边长的平方
所以面积是以2^2=4为首项,(√2)^2=2为公比的等比数列
所以a1=4,
则a10=4*2^(10-1)=2^11=2048平方厘米
a1=4,q=2,n=10
所以S10=4*(2^10-1)/(2-1)=2^12-4=4092平方厘米