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如图,已知平面直角坐标系内,A(-1,0),B(3,0),点D是线段AB上任意一点(点D不与A,B重合),过点D作AB的垂线l.点C是l上一点,且∠ACB是锐角,连结AC、BC,作AE⊥BC于点E,交CD于点H,
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如图,已知平面直角坐标系内,A(-1,0),B(3,0),点D是线段AB上任意一点(点D不与A,B重合),过点D作AB的垂线l.点C是l上一点,且∠ACB是锐角,连结AC、BC,作AE⊥BC于点E,交CD于点H,连结BH,设△ABC面积为S1,△ABH面积为S2,则S1•S2的最大值是___.
▼优质解答
答案和解析
设AD=x,BD=4-x,
∵∠HAD=∠EAB,∠ADH=∠AEB=90°,
∴△ADH∽△AEB,
∴
=
,
∴AE•DH=AD•EB,
∵∠ABE=∠DBC,∠CDB=∠AEB=90°,
∴△AEB∽△CDB,
∴
=
,
∴EB•BC=AB•DB,
∵S1•S2=
•AE•BC•
•DH•AB
=(AE•DH)•BC
=(AD•EB)•BC
=AD•(EB•BC)
=AD•(AB•BD)
=4x(4-x)
=-4(x-2)2+16,
∵a=-4<0,
∴x=2时,S1•S2有最大值,最大值为16,
故答案为16.
∵∠HAD=∠EAB,∠ADH=∠AEB=90°,
∴△ADH∽△AEB,
∴
AE |
AD |
EB |
DH |
∴AE•DH=AD•EB,
∵∠ABE=∠DBC,∠CDB=∠AEB=90°,
∴△AEB∽△CDB,
∴
EB |
DB |
AB |
CB |
∴EB•BC=AB•DB,
∵S1•S2=
1 |
2 |
1 |
2 |
=(AE•DH)•BC
=(AD•EB)•BC
=AD•(EB•BC)
=AD•(AB•BD)
=4x(4-x)
=-4(x-2)2+16,
∵a=-4<0,
∴x=2时,S1•S2有最大值,最大值为16,
故答案为16.
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