P是△ABC所在平面上一点,如何证明下列关系P代表三角形垂心?PA^2+BC^2=PB^2+CA^2=PC^2+AB^2

Question

P是△ABC所在平面上一点,如何证明下列关系P代表三角形垂心?
PA^2+BC^2=PB^2+CA^2=PC^2+AB^2

Answer 1

PA^2+BC^2=PB^2+CA^2
即：PA^2-PB^2=CA^2-BC^2
由这个式子即可以推出PC⊥AB
初级的做法是：
分别过P和C作AB的垂线,
结合勾股定理,可以证明这两垂线段的垂足重合,
也就是P点在AB边的高上.
同理,其它两边也可以得到类似结论,
∴P点就是垂心
高级的做法是：
分别以A、B为圆心作两个圆,半径分别为R、r
使得R、r满足：PA^2-PB^2=CA^2-BC^2=R^2-r^2
式子变形就得到：
PA^-R^2=PB^-r^2,CA^2-R^2=BC^2-r^2
∴P、C两点对于两圆的幂相等
∴线段PC在两圆的根轴上
∴PC⊥连心线AB
同理,PB⊥AC、PA⊥BC
∴P是△ABC的垂心