在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC．BE和平面ABC所成的角为π3，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，DE=3-1．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求二面角A-BE-C的余弦值．

Question

在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC．BE和平面ABC所成的角为(π)/(3)，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，DE=√(3)-1．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求二面角A-BE-C的余弦值．

Answer 1

证明：（1）取AC中点O，连接BO、DO，
∵△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，
∴BO⊥AC，DO⊥AC；
∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC
∴DO⊥平面ABC，
过E作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，
根据题意，点F落在BO上，易求得EF=DO=√(3)，
所以四边形DEFO是平行四边形，得DE∥OF，
∵DE⊄平面ABC，OF⊂平面ABC，
∴DE∥平面ABC
（2）以O为坐标原点，OA，OB，OD分别为x，y，z轴方向建立空间坐标系，
则A（1，0，0），B（0，√(3)，0），C（-1，0，0），D（0，0，√(3)），E（0，√(3)-1，√(3)）
则

BE

=（0，-1，√(3)），

AB

=（-1，√(3)，0），

CB

=（1，√(3)，0），
设平面ABE的法向量为

m

=（x，y，z）
则

m

•

BE

＝0

m

•

AB

＝0

，即

−y+√(3)z＝0

−x+√(3)y＝0

令y=√(3)，可得

m

=（3，√(3)，1）
设平面ACE的法向量为

n

=（x，y，z）
则

n

•

BE

＝0

n

•

CB

＝0

，即

−y+√(3)z＝0

x+√(3)y＝0

令y=√(3)，可得

n

=（-3，√(3)，1）
设锐二面角A-BE-C的平面角为θ
则cosθ=(m•n)/(|m|•|n|)=(|m•n|)/(|m|•|n|)=(5)/(13)，即二面角A-BE-C的余弦值为(5)/(13)